<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.1//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml11/DTD/xhtml11.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<title>Chapter 1</title>
<link href="stylesheet.css" type="text/css" rel="stylesheet" />
<link rel="stylesheet" type="application/vnd.adobe-page-template+xml" href="page-template.xpgt"/>
</head>
<body>
<div>
<h3>Chapter 1</h3>

<p>
Pretty much any text you want goes here. I'd love to ramble on and on to
give a good example of how it looks if you open this in a reader, but
it's not really necessary.
</p>

<div class="enoteHTML">
	
	<div class="subsubsection" id="Ch1.S0.SS0.SSS1"></div>

	  <h2 class="title chapter-title">Chapter 2. Lineære
	  ligningssystemer</h2>

	  <div id="Ch2.p1">
	    <p><span class="text footnote">Forfatter: Karsten
	    Schmidt.</span></p>
	  </div>

	  <div id="Ch2.p2">
	    <div class="basis">
	      <p>Denne TransferNote handler om lineære ligningssystemer,
	      om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan
	      man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
	      Noten kan læses uden særlige forudsætninger, dog bør man
	      kende til talrummet <img src="images/mi3.png" width="24" height="18" class="math" />, se <a href="http://www.dtu.dk/">TransferNote 1 REFERENCE.</a></p>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="subsubsection" id="Ch2.S0.SS0.SSS1"></div>

	  <h3 class="title section-title">2.1. Lineære ligninger</h3>

	  <div id="Ch2.S1.p1">
	    <p>En <span class="text bold italic">lineær ligning</span> med
	    <img src="images/mi31.png" width="14" height="11" class="math" />
	    ubekendte er en ligning af formen</p>

	    <table class="equation" id="Ch2.E1">
	      <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E1">
	        <td class="eqpad"></td>

	        <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1"><img src="images/mi80.png" width="247" height="18" class="math" /></td>

	        <td class="eqpad"></td>

	        <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	        "right">(<span class="refnum">2-1</span>)</td>
	      </tr>
	    </table>

	    <p>Tallene <img src="images/mi207.png" width="95" height="14" class="math" /> kaldes <span class=
	    "text italic">koefficienterne</span> og tallet <img src="images/mi6.png" width="11" height="18" class="math" /> kaldes
	    <span class="text italic">højresiden</span>. Koefficienterne
	    og højresiden betragtes som kendte tal, mens <img src="images/mi68.png" width="90" height="14" class="math" /> er de
	    ubekendte. Ligningen kaldes <span class=
	    "text italic">homogen</span>, hvis <img src="images/mi162.png" width="41" height="18" class="math" />, ellers <span class=
	    "text italic">inhomogen</span>.</p>
	  </div>
	
	<div class="boxenv boxenv-definition">
	    <div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS1">
	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS1.p1">
	        <h3>Definition 2.1</h3>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS1.p2">
	        <p>Ved en <span class="text italic">løsning</span> til
	        ligningen</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E2">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E2">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi80.png" width="247" height="18" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-2</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>

	        <p>forstås et talsæt <img src="images/mi13.png" width="182" height="21" class="math" /> der ved indsættelse i
	        ligningen får den til at passe, det vil sige at
	        venstresiden er lig med højresiden.<br class="break" />
	        Ved <span class="text bold italic">den fuldstændige
	        løsning</span> eller blot <span class=
	        "text bold italic">løsningsmængden</span> forstås alle
	        tænkelige løsninger til ligningen samlet i én
	        mængde.</p>
	      </div>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="boxenv boxenv-example">
	    <div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS2">
	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS2.p1">
	        <h3>Eksempel 2.2</h3>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS2.p2">
	        <p>Den lineære ligning</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E3">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E3">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi179.png" width="267" height="18" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-3</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>

	        <p>hvor alle koefficienterne samt højresiden er 0, er et
	        eksempel på en <span class=
	        "text bold italic">triviel</span> ligning. Ligningens
	        løsningsmængde består af alle <img src="images/mi117.png" width="182" height="22" class="math" />.<br class=
	        "break" /></p>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS2.p3">
	        <p>Hvis alle ligningens koefficienter er 0, men højresiden
	        er forskellig fra 0, opstår en <span class=
	        "text bold italic">inkonsistent</span> ligning, som ingen
	        løsninger har, det gælder fx ligningen</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E4">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E4">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi226.png" width="274" height="18" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-4</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>
	      </div>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS3">
	    <div id="Ch2.S1.SS0.SSS3.p1">
	      <p>Når man undersøger lineære ligninger, kan man benytte
	      de sædvanlige <span class=
	      "text bold italic">omformningsregler</span> for ligninger:
	      Man ændrer ikke ved løsningsmængden for ligningen, hvis
	      man lægger den samme størrelse til på begge sider af
	      lighedstegnet, og man ændrer heller ikke ved
	      løsningsmængden hvis man ganger på begge sider af
	      lighedstegnet med en konstant som er forskellig fra
	      0.<br class="break" />
	      Alle lineære ligninger som har mindst to ubekendte, har
	      uendeligt mange løsninger, det følgende eksempel viser
	      hvordan man i så fald kan opskrive løsningsmængden.</p>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="boxenv boxenv-example">
	    <div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS4">
	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS4.p1">
	        <h3>Eksempel 2.3</h3>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS4.p2">
	        <p>Vi betragter en inhomogen lineær ligning med tre
	        ubekendte:</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E5">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E5">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi14.png" width="171" height="18" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-5</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>

	        <p>Ved indsættelse af <img src="images/mi166.png" width="50" height="18" class="math" />, <img src="images/mi69.png" width="50" height="18" class="math" /> og <img src="images/mi9.png" width="50" height="18" class="math" /> i ligning (<a href="#Ch2.E5" title="Eq.2-5 in 2.1.0.4. ====MARKER==== in 2.1. Lineære ligninger in Ch.2. Lineære ligningssystemer" class="ref">2-5</a>) ses at <img src="images/mi2.png" width="88" height="21" class="math" /> er en løsning. Men hermed
	        har vi ikke fundet den fuldstændige løsning, da vi fx kan
	        konstatere at <img src="images/mi93.png" width="89" height="24" class="math" /> også er en løsning. Hvordan kan vi angive
	        hele løsningsmængden?<br class="break" />
	        Lad os starte med at isolere <img src="images/mi78.png" width="20" height="14" class="math" />:</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E6">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E6">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi109.png" width="173" height="24" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-6</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>

	        <p>Til ethvert valg af en talværdi for <img src="images/mi90.png" width="20" height="14" class="math" /> og en
	        talværdi <img src="images/mi204.png" width="20" height="14" class="math" /> svarer der netop én ny værdi af <img src="images/mi78.png" width="20" height="14" class="math" />. Lad
	        os fx sætte <img src="images/mi69.png" width="50" height="18" class="math" /> og <img src="images/mi169.png" width="50" height="18" class="math" />, så får vi <img src="images/mi122.png" width="63" height="18" class="math" />. Vi
	        kan derfor betragte <img src="images/mi90.png" width="20" height="14" class="math" /> og <img src="images/mi204.png" width="20" height="14" class="math" /> som <span class=
	        "text italic">frie parametre</span>, der fastlægger
	        betydningen af <img src="images/mi78.png" width="20" height="14" class="math" />, og <span class=
	        "text bold">omdøber</span> derfor <img src="images/mi90.png" width="20" height="14" class="math" /> og <img src="images/mi204.png" width="20" height="14" class="math" /> til
	        parameter-navnene <img src="images/mi67.png" width="12" height="11" class="math" /> henholdvis <img src="images/mi18.png" width="10" height="16" class="math" />. Nu kan vi opskrive
	        den fuldstændige løsning for ligning (<a href="#Ch2.E5" title="Eq.2-5 in 2.1.0.4. ====MARKER==== in 2.1. Lineære ligninger in Ch.2. Lineære ligningssystemer" class="ref">2-5</a>) på følgende <span class=
	        "text bold italic">standard-parameterform</span>:</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E7">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E7">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi123.png" width="443" height="65" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-7</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS4.p3">
	        <p>Bemærk at parameterfremstillingens midterste ligning
	        <img src="images/mi91.png" width="150" height="18" class="math" /> sådan set blot udtrykker navneskiftet <img src="images/mi196.png" width="54" height="14" class="math" />.</p>
	      </div>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS5">
	    <div id="Ch2.S1.SS0.SSS5.p1">
	      <table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class=
	      "noticeenv noticeenv-AHA">
	        <tr>
	          <td class="iconcell"><img src="images/AHA.png" width="50" class="noticeicon" /></td>

	          <td class="contentcell">
	            <div id="Ch2.S1.SS0.SSS5.p2">
	              <p>Hvis vi opfatter ligning (<a href="#Ch2.E5" title="Eq.2-5 in 2.1.0.4. ====MARKER==== in 2.1. Lineære ligninger in Ch.2. Lineære ligningssystemer" class="ref">2-5</a>) som ligningen for en plan i
	              rummet, så angiver ligning (<a href="#Ch2.E7" title="Eq.2-7 in 2.1.0.4. ====MARKER==== in 2.1. Lineære ligninger in Ch.2. Lineære ligningssystemer" class="ref">2-7</a>) en <span class=
	              "text italic">parameterfremstilling</span> for den
	              samme plan, hvor første søjlevektor på højresiden
	              angiver <span class=
	              "text italic">begyndelsespunktet</span> på planen,
	              og de to sidste søjlevektorer er <span class=
	              "text italic">retningsvektorer</span>. (Her:
	              REFERENCE til transfernote om geometriske
	              vektorer).</p>
	            </div>

	            <div id="Ch2.S1.SS0.SSS5.p3"></div>
	          </td>
	        </tr>
	      </table>
	    </div>
	  </div>
	
	<div class="boxenv boxenv-exercise">
	    <div class="subsubsection" id="Ch2.S1.SS0.SSS6">
	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS6.p1">
	        <h3>Opgave 2.4</h3>
	      </div>

	      <div id="Ch2.S1.SS0.SSS6.p2">
	        <p>En lineær ligning er givet ved</p>

	        <table class="equation" id="Ch2.E8">
	          <tr valign="baseline" class="equation" id="Ch2.E8">
	            <td class="eqpad"></td>

	            <td nowrap="nowrap" align="center" colspan="1">
	            <img src="images/mi65.png" width="159" height="18" class="math" /></td>

	            <td class="eqpad"></td>

	            <td rowspan="1" nowrap="nowrap" valign="middle" align=
	            "right">(<span class="refnum">2-8</span>)</td>
	          </tr>
	        </table>

	        <p>Angiv løsningsmængden for ligningen på
	        standard-parameterform.</p>
	      </div>
	    </div>
	  </div>	
	
	
	
	
</div>


</div>
</body>
</html>